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什麼是數學？

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作　　者╱

吳秉翰、吳作樂

出版社別╱

五南

書　　系╱

博雅科普

出版日期╱

2021/02/04 (1版 2刷)

I S B N ╱

978-957-763-633-1

書　　號╱

RE47

頁　　數╱

584

開　　數╱

25K

定　　價╱

600 (特價 474)

先學唱歌再看譜，有興趣再理解
以真實歷史與應用介紹數學，補起300多個數學疙瘩
讓一般人也能不怕數學、懂數學

波提思三大核心價值
1.學數學是先學唱歌再看譜，可以不懂數學，但不需要怕數學
2.數學不會沒關係，但需要會基礎統計與邏輯
3.邏輯是民主的基石，邏輯非數學，不必借助數學就能學會邏輯

本書目的
1.補強現今數學教材漏洞，用可信的事實或圖型作推導、歸納，用有意義的標題而非枯燥的假設題目，用基礎的定理（數學原理）來作證明，而非踢皮球的說是公式、或說以後會教。
2.合理順暢的學習，降低討厭數學的可能性。以數學發展為主，並依歷史發展的路線說明，而非切得支離破碎的單元。認識數學式的定義、公理，及如何推導到定理。
3.認識數學的藝術，引發興趣。如：藝術、曲線、圖形的方式。
4.認識數學的應用，引發興趣。說明各單元的一般生活應用真的很少，但會說明各單元應用在何處。
5.讓學生明白即便懂數學不一定考試拿高分，拿高分也不一定懂數學，但不論懂不懂都不用怕數學，如同不喜歡讀英文也不用怕英文。

吳作樂
學歷：
國立台灣大學數學系學士
美國哥倫比亞大學數理統計博士
經歷：
長榮大學資訊管理系教授
數位內容創作學程主任
國家太空中心主任
國際宇宙航行學院 (International Academy of astronautics) 院士
宏遠育成科技股份有限公司總經理
工研院電通所副所長
美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員

吳秉翰
學歷：
輔仁大學應用數學學士

作者序一／吳秉翰
作者序二／吳作樂
前言
導讀
CH 1 認識數系
1-1正整數及基礎運算
1-2有理數（分數）及基礎運算
1-3小數、負數與0及基礎運算
1-4無理數及基礎運算
1-5實數、虛數與複數
1-6實數的性質
CH 2 進階運算規則
2-1絕對值
2-2指數
2-3對數
2-4第三個特別的無理數：歐拉數e
CH 3 代　數
3-1未知數與等量公理、及移項法則
3-2平面座標系、聯立方程式與直線方程式
3-3一元二次方程式、參數式、拋物線、與配方法
3-4數列與級數、一般式與遞迴式
CH 4 幾　何
傳統幾何
4-1基礎幾何概念
4-2幾何證明
4-3圓周率的祕密、第二個神奇的無理數π
傳統幾何到解析幾何
4-4三角函數與圓
4-5圓錐曲線與二次方程式
CH 5 複　數
5-1複數的運算與複數平面
5-2隸美弗定理與複數的極式
5-3歐拉的寶石：歐拉方程式
5-4淺談泰勒級數與傅立葉級數
CH 6 函數
6-1函數在生活上應用
6-2函數是什麼
CH 7 數學與藝術
7-1第一個神奇的無理數：黃金比例Φ
7-2大自然的黃金比例螺線
7-3碎形藝術與大自然及碎型典故
7-4極座標作圖
7-5代數曲線的藝術
7-6投影幾何
CH 8 結論—數學不好，不是你的錯
8-1數學恐懼症
8-2數學教育該怎麼做？先學唱歌再看譜
8-3結論


圖解AI：從計算機的誕生到超越人類智慧的A I(彩色版) (限中國大陸以外地區銷售)	物理風雲─近代篇：智慧巨光照亮自然奧祕	物理風雲─古典篇：智慧巨光照亮自然奧祕

ChatGPT 與人類未來：通往AGI的複雜之路	50則非知不可的心理學概念	毒家報導─揭露新聞中與生活有關的化學常識

1
認識數系
在求學的過程中，可看到數字的變化，也就是從真實生活中看的見且簡單實用的數字（如：整數、分數），慢慢走向真實生活看不到且複雜抽象的情況（如：虛數），見圖1-1。
為什麼會愈變愈複雜？都是應用上的需要而創造新的數字規則。初期的真實世界因為計算數量上的需求，而產生了整數（正整數）、分數（有理數）；在討論面積的需求上衍生出無理數的概念，上述都還稱得上看的到、摸的到的內容。後期為了方便性、生活需求、數學家希望數學的合理性、一致性，進行一定程度將數字抽象化。如：為了討論負債的問題，產生了負數與0的內容；為了讓數字的十進位可以更完美，產生了小數的內容；為了讓方程式的解（根）更合理，進而創造出虛數、複數的概念。
從古至今基礎數系的內容就僅僅於此，本章將介紹各數系的內容，而介紹的順序並不會完全以歷史軌跡走，而是以學習順暢度，見圖1-2。並參考圖1-3了解各數系的關係。

1-1正整數及基礎運算
1-1-1自然數（N、正整數、Natural number）
如果沒有數字時，要計算物品的數量會相當不便，比如說：一個原始人要表達他有7隻羊，但他沒有數字的概念，只能數羊、羊、羊、羊、……，一邊指一邊念，讓別人認知他念幾次就是幾隻羊；進步一點，可以伸出7根手指頭，再對別人說他有多少隻羊，用比的給別人看他有多少，而當手指不夠用時，自然就是說他有很多羊。最後為了計數的需求創造了數字、及各種進位法。
人們需要整數來面對的自然界的數量問題，故又被稱為是自然數，也難怪數學家克朗內克說「自然數是上帝創造的數字，而其他的數字則是人為。」
※ 備註：克朗內克（Leopold Kronecker）德國數學家，1823-1891。
★常見問題：一個蘋果加上一個水梨的數量為何？
作者的教學經驗，小學的學生會把一個蘋果與一個水梨的數量可以總合感到疑惑。因為認為兩種水果數量是不可混合的，加起來仍是一個蘋果與一個水梨。因為學生沒有把蘋果視為1個水果、水梨視為1個水果，加總起來是1個水果 + 1個水果= 2個水果。抽象性要跨出第一步是不容易的，要反覆以正確的語言來加以認識，而這樣的問題在國中的未知數符號化也是同樣的道理。使用數字的時候，當我們可以把一個蘋果與一個水梨的數量都理解為都是1的時候，也就代表對數字抽象性邁進了第一步。
※ 備註：整數一開始沒有正負數之分，西元9世紀後在印度才開始有使用負數。
1-1-2各種數字符號與阿拉伯數字
世界各地的文明各自發展出自己的數字符號與進位制，在此介紹幾個文明的數字符號與進位制作為參考，埃及見圖1-4、1-5，巴比倫見圖1-6，馬雅見圖1-7，中國見圖1-8，羅馬1到10分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ。但到近代我們最後整合為常用且方便的進位制與數字符號，如：阿拉伯數字、十進位、六十進位。
．世界通用的阿拉伯數字
現在使用的阿拉伯數字，並非阿拉伯人發明，而是印度人流傳推廣。而印度人又是學習腓尼基商人的計算方法，這套數字符號具有方便的符號與計算方式。隨後阿拉伯人經由經商將這套方便的數字，流傳到歐洲再傳到世界各地。阿拉伯數字的原始意義是有幾個角表示數字幾，看完原始寫法就能明白，見圖1-9。
1-1-3數學運算符號的由來
認識整數的加減乘除前，先認識現在的數學運算符號。歷史上出現過各種的數學運算符號，但最終整合成我們所熟悉的加（+）、減（–）、乘（×）、除（÷）。有趣的是符號創造依序分別是：減（–）、加（+）、乘（×）、除（÷）。
．減號「–」、加號「+」的記號
15世紀德國數學家魏德曼創立加號「+」、減號「–」。可想作十字是直線加橫線，表示加起來的意思；十字拿走直線部分，剩下橫線部分，表示減少的意思。
另一種說法：原是船員使用桶中的水時，為表示當天取用的分量而以橫線做標記，代表減少的水量。後來，減法便以「–」作為減的符號。船員重新加水到水桶，會先在原來的「–」記號上加上一條直線，再繼續刻下「–」號直到木桶不能用，所以加法便以「+」作為加的符號，減法便以「–」作為減的符號，見圖1-10。
．乘號「×」、「·」、「不寫」
17世紀英國數學家歐德萊，因乘法與加法有關係，故將3 + 3 + 3 + 3定為3 × 4，連續加法加幾次就是乘幾，幫助書寫，定義加號斜放表示相乘。後來德國數學家萊布尼茲（Leibniz）認為「×」容易與字母「X」混淆，主張用「·」。但「·」又有可能與小數點搞混，故也開始「不寫」，如：x × y = x·y = xy。故現在乘號有三種方式「×」、「·」、「不寫」。
乘號之所以會有這麼多的符號是因，「×」主要用在數字相乘、少用「·」怕會跟小數點搞混；而「·」主要用在符號相乘、少用「×」，怕會跟字母X搞混，同時我們可以發現在電腦鍵數字盤上的乘號是「*」或「*」，這邊是避免與X搞混。
★常見問題：xy與yx被認為不一樣
初學者在學習代數及省略乘號時，會認為xy與yx不一樣，原因可能為下述，第一個是還沒有理解到未知數相乘時乘號可以不寫，第二個是將未知數當作是位數數值，也就是xy與yx視為49與94的關係，第三個是將xy與yx視為不同的內容，如：on（在什麼之上）與no（不），而這個問題需要多強調符號相乘概念，xy與yx的確看起來不同，但等號是表示運算後數值一樣。
．除號「÷」、「/」
17世紀瑞士數學家雷恩創立，其中一種說法認為分數形式是「」，該記號必須代表有分數的感覺，所以除號「÷」，上方和下方的「·」分別代表分子和分母。
另一種說法則認為，除法以分數表示時，橫線上下的「·」是用來與「–」區分的記號。萊布尼茲主張用「：」作除號，與當時流行的比號一致。現在有些國家的除號和比號都用「：」表示。而「/」對於印刷版面有著方便的應用，不用多做版塊，直接用日期的斜線版塊，也普遍被接受這是除號。同時也有人說，除法是連續減法的應用，所以除法也類似乘法一般，斜放變除。
※ 備註：現在已經不用「：」作除號，但常見於比例尺的使用。
★常見問題：比例的運算中，什麼是內×內=外×外
在台灣的小學，有關比例的運算，會用到一個口訣：內×內=外×外，這是什麼原理呢？例如，3：5 =□：25，而5 × □= 3 × 25，所以5 × □= 75，故□= 15。基本上只要把比（：）的符號，寫成除號（÷），就能知道原理，3：5 =□：25改寫為3 ÷ 5 =□÷ 25，利用移項法則故3 ÷ 5 =□÷ 25可得到3 × 25 = 5 ×□，而75 =□× 5，所以75 ÷ 5 =□，故□= 15。因此就不用多死背一個口訣（或稱公式），在此要強調數學不該無端創造公式，無助學習。
．等號「=」
西元1540年的英國學者列考爾德使用「=」，用兩條平行等長的直線，來代表兩數相等，其意義為上面與下面的直線距離相同，故左邊與右邊的開口大小一樣。
．大於「>」、小於「<」
西元1631年英國代數學家赫銳奧特開始使用大於「>」、小於「<」，原理如同等號，兩條交叉的線，愈靠近交叉點，兩條線間的距離愈來愈小。所以「>」是左邊開口大，而數學的閱讀是由左向右，故稱為大於，如5 > 3，念作5大於3；反過來說「<」就是小於。
．中括弧「[ ]」和大括弧「{ }」
16世紀英國數學家魏治德開始使用中括弧與大括弧，為了區別小括弧的重複使用而混亂的情形。
數學運算符號的產生，一開始各國有各國的習慣符號，但最後為了方便交流，變成全世界通用的符號，也就意味著數學語言是全世界的共通語言。萊布尼茲知道數學語言是全世界語言，想創造一個全世界通用的溝通語言，不過還是失敗了。但他還是開創了現在全世界邏輯學常用的符號及觀念。